“Resolución de problemas que involucren
el cálculo de porcentajes”
¿Qué es y para que sirve?
El cálculo
mental es una parte fundamental de las matemáticas. Gracias a él, las
personas encontramos herramientas para responder de forma flexible y adecuada a
distintas situaciones de la vida cotidiana, como la capacidad de decidir
rápidamente la conveniencia de comprar un producto bajo una determinada rebaja,
o las cantidades aproximadas de comida que se necesitan para hacer una receta.
Tradicionalmente,
la enseñanza del cálculo mental ha puesto énfasis en la práctica
repetida de operaciones para lograr resolverlas lo más rápido posible “en la
cabeza“, sin necesidad de utilizar lápiz y papel. Sin embargo, esta visión no
es del todo completa, ya que ser bueno en cálculo mental significa algo más que
acumular en la memoria una serie de hechos numéricos aislados. Al contrario,
para ser ágil en el cálculo hay que ser capaz de interconectar, entender y
dominar una gran cantidad de ideas y conceptos. En otras palabras, la
buena capacidad de cálculo no depende tanto de un gran almacén de hechos,
operaciones o resultados aislados, como de un buen sentido
numérico (number sense).
Se
ha demostrado que los niños que dominan el concepto de número y las
relaciones aritméticas son mejores calculando (ver Baroody, 2006).
Comprender que un número puede componerse y descomponerse en distintas partes,
y que esto puede hacerse de formas muy diversas, ayuda a los niños a
desarrollar diferentes estrategias de cálculo mental. Una especialmente
útil consiste en transformar ciertas combinaciones en otras expresiones más
sencillas, como en el siguiente ejemplo, donde la expresión 8 + 9 puede
modificarse para facilitar el cálculo:
Suma
de dobles más uno: 8 + (8+1) = 16 +1 = 17, o
Sumas
de 10: (7+1) +9 = 7 + 10 = 17
Así,
sería más correcto concebir el cálculo mental como la invención y
aplicación de estrategias basadas en las características del sistema numérico y
de las operaciones aritméticas. Según esta perspectiva, el cálculo
mental se describe como “piensa con tu cabeza“, en lugar de “opera en tu
cabeza“, y aboga por favorecer el sentido numérico. Este es precisamente el
objetivo que pretendemos conseguir en Smartick. Por eso, cada día
trabajamos para mejorar nuestro método y desarrollar nuevas tipologías de
ejercicios que ayuden a los alumnos a profundizar en la comprensión de los
números, a relacionar las operaciones entre sí, a hacer equivalencias y, en
definitiva, a descubrir lo que son las verdaderas matemáticas.
“Historia del cálculo mental”
La
palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa
contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad
de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas.
Las
matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles.
El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que
el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó
a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con
la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se
hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran
resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con
continuidad.
En
este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el
avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios papiros escritos en
esa época, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración,
basado en la implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio,
se basaba en sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos,
lazos, figuras humanas...), los demás números eran escritos por la
superposición de estas mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta
para lo que hoy conocemos como el sistema romano.
Otras
civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros
sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la solución al problema de
contar los objetos, se vio resuelto con la implementación de
un método sexagesimal. Este método tenía la particularidad de
escribir un mismo signo como la representación de varios números diferenciados
por el enunciado del problema.
Civilizaciones
como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un
sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el
número cero.
Los
avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema
numérico, aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios,
dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo La
correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los
Indios, aumento el conocimiento matemático, y la creación de los
números irracionales, además que ayudó a la resolución de sistemas de
ecuaciones de la forma
En
la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso, además
de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso
lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma y Su
avance fue tal que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones.
Y en geometría, se cree que conocían el teorema de Pitágoras, aunque no
como un teorema general.
China
sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte
principal se basaba en la creación del "método del elemento celeste",
desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la resolución de raíces
enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la
forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.
¿Qué es el cálculo de porcentajes?
El porcentaje es un símbolo matemático, que representa
una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente tanto
por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades».
Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por
ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a
la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.
El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que
matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del
número al que se refiere, dejando un espacio de separación.1 Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa
mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’.
También puede ser representado:
El símbolo del porcentaje.
y, operando:
El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de
cada 100 de esas 2000, es decir:
640 unidades en total.
El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación
entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar
100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000
enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay
150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro
expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el
segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo país.
¿Cómo calcular un porcentaje?
Existen
diferentes caminos para calcular un porcentaje.
Uno
de ellos es calcular el 1% y luego multiplicar el resultado por el
porcentaje que se busca.
Ejemplo:
En un comercio están liquidando la
mercadería, todo los artículos están al 70%. Juan quiere comprar un ventilador
que cuesta $ 630, ¿cuánto deberá pagar?
1)
El precio del ventilador es el 100%, calcularemos cuánto es el 1%. Para ello
establecemos la siguiente proporción:
100%
_________
|
$
630
|
1%
___________
|
?
|
Dividimos
630 por 100 para obtener el 1%: 630 / 100 = 6,3
1% =
$ 6,3
2)
Multiplicamos el 1% por 70, ya que queremos calcular el 70%:
6,3
x 70 = 441
Juan
pagará por el ventilador $ 441.
“importancia del porcentaje”
Tasa
de Interés: Cuando en una entidad financiera aperturamos una cuenta
de ahorros ó solicitamos un crédito, medimos el rendimiento en nuestras cuentas
de CTS, etc.
Encuestas
realizadas: Para medir los niveles alcanzados de los datos consultados.
En
el Comercio: Por ejemplo, para ver los descuentos realizados a determinados
productos o servicios.
En
la Tecnología: Un ejemplo sería, para ver el avance en la descarga de archivos
en la red o en un computador; espacio libre o utilizado en la unidad de
almacenamiento de datos, etc.
“caso practico”
Para
la realización de este caso nos dirigimos a tres (03) Entidades Financieras
diferentes, con la finalidad de solicitar un préstamo por el monto de S/.
10,000.00 (Diez mil con 00/100 nuevos soles), financiado en 24 meses.
Comparando
la tasa de interés anual, deducimos:
PRESTAMO DE S/.10,000.00
|
||||
ENTIDADES
FINANCIERAS
|
TASA DE
INTERES
|
CUOTAS
|
TOTAL
DE INTERES
|
TOTAL A
PAGAR
|
CAJA
TRUJILLO
|
41.56%
|
24
|
S/.
4,156.00
|
S/.14,156.00
|
MI
BANCO
|
36.15%
|
24
|
S/.3,615.00
|
S/.13,615.00
|
BANCO
FALABELLA
|
17.88%
|
24
|
S/.1,788.00
|
S/.11,788.00
|
“Proporcionalidad directa”
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o
dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por
ese mismo número.
Al
dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente valor de
la primera magnitud, se obtiene siempre el mismo valor (constante). A esta
constante se le llama razón
de proporcionalidad directa.
Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa se puede
utilizar:
·
La razón de proporcionalidad.
·
Una regla de tres.
·
El método de reducción a la unidad.
“Ejemplo”
Qué relación podemos ver entre el número de plátanos y el
número de cajas que necesitamos para guardarlos?
Es importante saber que el cociente
(razón o proporción) entre dos magnitudes directamente proporcionales
es siempre constante. En nuestro ejemplo tenemos que la razón es 3.
proporcionalidad
inversa”
La proporcionalidad inversa se da cuando una
magnitud crece y la otra disminuye proporcionalmente, se le llama
proporcionalidad Inversa.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si
al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida
(o multiplicada) por el mismo número.
Cuanto mayor velocidad lleve el coche de carreras
menos tiempo tardará en dar una vuelta al circuito
Imaginemos que dando una vuelta al circuito a 100 km/h,
el coche tarda 12 min. En este caso y sabiendo que existe una relación de proporcionalidad
inversa podremos decir que si multiplicamos la velocidad por 2 (200
km/h), entonces el tiempo por vuelta quedará dividido entre 2 (6 min).
Si por el contrario, redujera su velocidad a la
mitad (100 km/h : 2 = 50 km/h) el tiempo por vuelta sería al doble (12
min x 2 = 24 min)
Si el coche diera su última vuelta en 4 min, ¿qué habría
pasado con la velocidad del coche durante esa vuelta?
(12 min : 4 min = 3) Como el tiempo se ha dividido
entre 3, la velocidad se tiene que multiplicar por 3 (3 x 100 km/h = 300
km/h). Es decir que la velocidad a la que el coche dio su última vuelta fue 300
km/h.
Con estos ejemplos podemos observar el porqué del nombre
INVERSA para este tipo de relación de proporcionalidad. Lo que ocurre con una
de las magnitudes ocurre de forma INVERSA con la otra magnitud, cuando una
crece la otra disminuye y viceversa.
Ahora, igual que ocurre con la proporcionalidad directa,
vamos a hallar la Razón de Proporción.
Para calcular la razón, tenemos que multiplicar las
cantidades de cada magnitud relacionadas entre sí.
100 km/h x 12 min = 1200
200 km/h x 6 min = 1200
50 km/h x 24 min = 1200
300 km/h x 4 min = 1200
Al ver esto recordamos que la razón de proporción es
una constate, es decir que es igual para cada par de números que representan
las magnitudes relacionadas. En este caso la razón de proporción es 1200
“Como
ven los niños de primaria los problemas de cálculo de porcentajes”
No hay comentarios:
Publicar un comentario