UNIDAD II

“Significado de las operaciones aritméticas a través de la resolución de problemas”

Los problemas aritméticos son aquellos donde la vía fundamental de solución es la aplicación de las propiedades de los números o de las operaciones básicas con los mismos. Estos problemas se pueden clasificar según diferentes puntos de vista: v De acuerdo a la "cantidad de pasos de solución" pudieran ser: § Simples que son aquellos que se resuelven en un solo paso de solución y § Compuestos que se resuelven en más de un paso de solución (por lo general, para encontrar lo que se busca hay primero que hallar otros elementos desconocidos que están en el propio problema y que se acostumbra llamarlos subproblemas o problemas auxiliares. Esta última clasificación en muy empleada en la enseñanza de la Matemática en la escuela primaria cubana. Por otra parte los problemas también se pueden clasificar: v Por el "tipo de lenguaje utilizado" pueden ser: § Simbólicos, que se caracterizan por la brevedad y en ellos prevalecen el empleo de signos y notaciones matemáticas y § Con texto: son los que describen relaciones cuantitativas que existen entre objetos en un lenguaje no simbólico, común. Los significados prácticos de las cuatro operaciones básicas con números naturales consisten en cada una de las distintas interpretaciones que se le pueden dar a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con números naturales desde el punto de vista de la práctica, de la realidad. En la mayoría de ellas de ellas se puede emplear la relación parte-todo. Además el estudio de estos significados permitiría fundamentar matemáticamente las diferentes estructuras semánticas que pueden asumir los problemas aritméticos con texto sobre números naturales. Se entiende por estructuras semánticas para este tipo de problemas, a cada uno de los diferentes modelos lingüísticos, con énfasis en el significado, que pueden adoptar estos problemas para darles salida a todos los significados prácticos de las cuatro operaciones básicas con números naturales. En sentido general, se han desarrollado a escala mundial múltiples estudios sobre estas estructuras semánticas, sin embargo el tratamiento de los significados de referencia ha sido pobremente abordado, sobre todo en el extranjero. Propiedades de la suma La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asosiativa, distributiva y elemento neutro. Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4 Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4) Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo 5 + 0 = 5.

2. Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3 Propiedades de la multiplicación a multiplicación tiene cuatro propiedades que harán más fácil la resolución de problemas. Estas son las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva. Propiedad conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos. Por ejemplo: 4 *2 = 2 *4 Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin importar como se agrupan los factores. Por ejemplo (2*3) *4 = 2 * (3 * 4) Propiedad de elemento neutro: El producto de cualquier número por uno es el mismo número. Por ejemplo 5 * 1 = 5. Propiedad distributiva. La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6 + 3) = 4 * 6 + 4 * 3 Cálculo mental El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y papel o los dedos para contar fácilmente. También se puede considerar cálculo mental al uso del cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos muchas veces no coinciden con los mejores calculistas. Igualmente, los grandes calculistas no son los de mejor memoria pues las técnicas del cálculo mental y las de potenciación de la memoria son diferentes. Los campeones del mundo y los que figuran el libro Guiness de los records de ambas especialidades (cálculo y memoria) suelen ser siempre diferentes. La práctica del cálculo mental ayuda al estudiante para que ponga en juego diversas estrategias. Es la actividad matemática más cotidiana y la menos utilizada en el aula. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del Sentido Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración, además de gusto por las Matemáticas. Para su enseñanza es aconsejable enseñar el descubrimiento de reglas nemotécnicas fáciles así como las de selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo mental aunque cada uno tiene que hacerlo con sus propios números.

3. Estimación y cálculo mental Cantidad aproximada realizada sin lápiz ni papel. *Habilidad para realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de manera mental (sin lápiz ni papel) *Conocer los algoritmos básicos. *Practicar. *Concentración. *Razonamiento o entendimiento. Favorece: -Concentración -Atención. -Comprensión. -Agilidad. -Sentido numérico.

El concepto de resolución de problemas está vinculado al procedimiento que permite solucionar una complicación. La noción puede referirse a todo el proceso o a su fase final, cuando el problema efectivamente se resuelve.

En su sentido más amplio, la resolución de un problema comienza con la identificación del inconveniente en cuestión. Después de todo, si no se tiene conocimiento sobre la existencia de la contrariedad o no se la logra determinar con precisión, no habrá tampoco necesidad de encontrar una solución.

Una vez que el problema se encuentra identificado, se hace necesario establecer una planificación para desarrollar la acción que derive en la resolución. En ciertos contextos, la resolución de problemas obliga a seguir determinados pasos o a respetar modelos o patrones. Eso es lo que ocurre, por ejemplo, con los problemas matemáticos.

En otros casos, en cambio, la resolución del problema puede depender de una única acción o de una decisión repentina. Si una persona descubre que se le ha prendido fuego una mesa de madera por la caída de una vela encendida, el problema se solucionará arrojando un balde de agua sobre las llamas. En este tipo de contingencias, la resolución debe ser inmediata para evitar que el problema se vuelva más grave.

¿Qué tipos de problemas hay?

EL MÉTODO DE ANÁLISIS-SÍNTESIS

El análisis, pues, considera aquello que se busca como si fuera algo aceptado y pasa desde ello, a través de sus consecuencias sucesivas, a algo que es aceptado como resultado de la síntesis: pues en el análisis damos por supuesto aquello que se busca como si (ya) estuviera dado (γεγόνος), e inquirimos qué es aquello de lo cual resulta esto y a su vez cuál es la causa antecedente de lo posterior, y así sucesivamente, hasta que, volviendo así sobre nuestros pasos, llegamos a algo ya conocido o que pertenezca a la clase de los primeros principios, y a un tal método lo llamamos análisis por ser una solución hacia atrás (ἀνάπολιν λύσις).

REGLA DEL ANALISIS-SINTESIS Si x es la incógnita del problema, supóngala conocida. Indague e investigue cuáles son aquellos antecedentes de los cuales x resulta y que permiten determinar x.

EL MÉTODO COMO ALGORITMO

La descripción del método de análisis-síntesis y los ejemplos en los que se ha presentado en funcionamiento muestran claramente cómo el método tiene caracter algorítmico: es una regla que se ejecuta paso a paso, que contiene decisiones que hay que tomar y acciones que hay que ejecutar, y el conjunto de decisiones y acciones se reitera hasta la obtención del resultado. Esto permite representar el análisis y la síntesis mediante sendos diagramas de flujo, que organizan la secuencia de acciones y decisiones. Es necesario hacer algunas observaciones sobre los diagramas que representan el análisis y la síntesis: una, que el diagrama tiene carácter de esquema, y, otra que muestra con claridad el lugar del proceso de resolución en que el resolutor recurre a los conocimientos que posee y que son pertinentes para la comprensión de las relaciones que aparecen en el problema. En primer lugar, en el diagrama del análisis aparece un primer punto de decisión en el que hay que preguntarse “qué datos se juzgan necesarios para determinar la incógnita”: en el diagrama se presentan dos caminos alternativos por los que hay que circular; ahora bien, en la práctica el asunto no es tan simple. Por ejemplo en el análisis que hemos presentado del problema 7 puede verse que hay momentos en que es preciso circular por los dos caminos; así, en el punto 2 de dicho análisis, al contestar a la pregunta “qué datos se juzgan necesarios para determinar la incógnita” se encuentran tres datos como antecedentes; dos de ellos son datos que no están presentes en el enunciado del problema y el otro es un dato del problema, con lo que por un lado hay que circular por el lado izquierdo del diagrama –el lado de lo conocido– y, por el otro, por el derecho –el lado de lo desconocido. Como se muestra en el diagrama, el proceso se reitera hasta que se acabe circulando sólo por el lado de lo conocido.

“El enfoque de las matemáticas”

La formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los problemas de la vida cotidiana depende en gran parte de los conocimientos adquiridos y de las habilidades y actitudes desarrolladas durante la educación básica. La experiencia que vivan los alumnos al estudiar matemáticas en la escuela puede tener como consecuencias el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los resultados o la supeditación de éstos al criterio del docente.

El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el estudio de las Matemáticas consiste en utilizar secuencias de situaciones problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados. Al mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán implicar justamente los conocimientos y habilidades que se quieren desarrollar.

 Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos años dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio, entendido como la situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos para construir conocimientos y superar las dificultades que surgen en el proceso de aprendizaje. Toda situación problemática presenta obstáculos; sin embargo, la solución no puede ser tan sencilla que quede fija de antemano, ni tan difícil que parezca imposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe construirse en el entendido de que existen diversas estrategias posibles y es necesario usar al menos una. Para resolver la situación, el alumno debe usar sus conocimientos previos, los cuales que le permiten entrar en la situación, pero el desafío consiste en reestructurar algo que ya sabe, sea para modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o volver a aplicarlo en una nueva situación.

 El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar hábilmente para solucionar problemas y que lo puedan reconstruir en caso de olvido; de ahí que su construcción amerite procesos de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en relación con el lenguaje como con las representaciones y procedimientos. La actividad intelectual fundamental en estos procesos de estudio se apoya más en el razonamiento que en la memorización; sin embargo, no significa que los ejercicios de práctica o el uso de la memoria para guardar ciertos datos, como las sumas que dan 10 o los productos de dos dígitos, no se recomienden; al contrario, estas fases de los procesos de estudio son necesarias para que los alumnos puedan invertir en problemas más complejos.

 A partir de esta propuesta, los alumnos y el docente se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el docente busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. Es posible que el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas, con base en actividades de estudio basadas en situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas, resultará extraño para muchos docentes compenetrados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin embargo, vale la pena intentarlo, ya que abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente del salón de clases; se notará que los alumnos piensan, comentan, discuten con interés y aprenden, mientras que el docente revalora su trabajo.

¿Por qué un enfoque basado en la resolución de problemas?

La resolución de situaciones problemáticas es la actividad central de la matemática.

Es el medio principal para la establecer relaciones de funcionalidad matemática con la realidad cotidiana..

“principales rasgos de del enfoque centrado en la resolución de problemas”

La resolución de problemas debe imprgnar íntegramente el currículo de matemáticas.

Las situaciones problemáticas deben plantearse en contexto real o científico.

Problemas que respondan a los intereses y necesidades de los estudiantes.

“Estimación y cálculo mental”

¿Qué es estimación?

Estimación (o estimar) es el proceso de encontrar una aproximación sobre una medida, lo que se ha de valorar con algún propósito es utilizable incluso si los datos de entrada pueden estar incompletos, incierto, o inestables. En el ámbito de la estadística estimación implica ” usar el valor de una estadística derivada de una muestra para estimar el valor de un parámetro correspondiente a población”; la muestra establece que la información puede ser proyectada a través de diversos factores, formal o informalmente, son procesos para determinar una gama muy probablemente y descubrir la información que falta. Cuando una estimación resulta ser incorrecta, se denomina “overestimate” si la estimación superó el resultado real y una subestimación si la estimación se quedó corto del resultado real.

La estimación se realiza mediante el muestreo de frecuencia, (lo que está contando con algo pequeño número de ejemplos), y la proyección de ese número en una población más grande.

Las estimaciones de manera similar se pueden generar mediante la proyección de los resultados de encuestas o encuestas sobre la población total; al hacer una estimación, lo más a menudo es que el objetivo es útil para generar un rango de posibles resultados, y esa cualidad es suficiente para ser útil, pero no es necesario que por lo que es probable que sea incorrecto.

Por ejemplo, al tratar de adivinar el número de caramelos contenidos en un frasco si el cincuenta por ciento eran visibles y el volumen general de la jarra sobre parecía ser veinte veces tan grande como el recipiente de volumen que contiene los caramelos visibles, a continuación un proyecto simple mide que había un millar de caramelos en el frasco; tal proyección, previsto para recoger el único valor que se cree que es más cercano al valor real se llama una estimación puntual.

Sin embargo el punto de estimación es probable que sea incorrecto, debido a que el tamaño de la muestra (en este caso, el número de caramelos son visibles), es un número demasiado pequeño para estar seguro de que no que contienen anomalías que difieren de la población en su conjunto; este concepto es correspondiente a una estimación de intervalo que captura una gama mucho más amplia de posibilidades, pero es demasiado amplio para ser útil.

¿Qué es cálculo mental?

El cálculo mental es una parte fundamental de las matemáticas. Gracias a él, las personas encontramos herramientas para responder de forma flexible y adecuada a distintas situaciones de la vida cotidiana, como la capacidad de decidir rápidamente la conveniencia de comprar un producto bajo una determinada rebaja, o las cantidades aproximadas de comida que se necesitan para hacer una receta.

Tradicionalmente, la enseñanza del cálculo mental ha puesto énfasis en la práctica repetida de operaciones para lograr resolverlas lo más rápido posible “en la cabeza“, sin necesidad de utilizar lápiz y papel. Sin embargo, esta visión no es del todo completa, ya que ser bueno en cálculo mental significa algo más que acumular en la memoria una serie de hechos numéricos aislados. Al contrario, para ser ágil en el cálculo hay que ser capaz de interconectar, entender y dominar una gran cantidad de ideas y conceptos. En otras palabras, la buena capacidad de cálculo no depende tanto de un gran almacén de hechos, operaciones o resultados aislados, como de un buen sentido numérico (number sense).

Se ha demostrado que los niños que dominan el concepto de número y las relaciones aritméticas son mejores calculando (ver Baroody, 2006). Comprender que un número puede componerse y descomponerse en distintas partes, y que esto puede hacerse de formas muy diversas, ayuda a los niños a desarrollar diferentes estrategias de cálculo mental. Una especialmente útil consiste en transformar ciertas combinaciones en otras expresiones más sencillas, como en el siguiente ejemplo, donde la expresión 8 + 9 puede modificarse para facilitar el cálculo:

Suma de dobles más uno: 8 + (8+1) = 16 +1 = 17, o

Sumas de 10: (7+1) +9 = 7 + 10 = 17

Así, sería más correcto concebir el cálculo mental como la invención y aplicación de estrategias basadas en las características del sistema numérico y de las operaciones aritméticas. Según esta perspectiva, el cálculo mental se describe como “piensa con tu cabeza“, en lugar de “opera en tu cabeza“, y aboga por favorecer el sentido numérico. Este es precisamente el objetivo que pretendemos conseguir en Smartick. Por eso, cada día trabajamos para mejorar nuestro método y desarrollar nuevas tipologías de ejercicios que ayuden a los alumnos a profundizar en la comprensión de los números, a relacionar las operaciones entre sí, a hacer equivalencias y, en definitiva, a descubrir lo que son las verdaderas matemáticas.

¿para que se utiliza la estimación?

 La enseñanza escolar de la estimación, lejos de centrarse en lo algorítmico, se orientará a que los alumnos descubran la potencialidad y flexibilidad de uso de esta estrategia en diversas situaciones  que admitan vías de actuación diferentes.

“propósitos de la enseñada de la estimación”

Proponer repuestas aproximadas de manera rápida.

Desarrollar el pensamiento hipotético.

Aplicar distintas maneras de estimación, eligiendo la más adecuada para la situación.

“estrategias para que la estimación sea más correcta”

El redondeo: se debe definir en qué nivel lo haremos (unidades, decenas, centenas, etc.)

Truncamiento: consiste en hacer un número más pequeño de lo que es, y se puede hacer tan chico como se desee.

Sustitución: se realiza con la finalidad de facilitar las operaciones al momento de resolver un problema.

¿Por qué el cálculo mental ayuda a ejercitar el cerebro?

El cálculo mental es una de las actividades practicadas en las clases de matemáticas desde nuestra más tierna infancia. Cuando aprendemos las letras y los números, el paso siguiente hace que los más pequeños estudien y realicen operaciones sencillas. Ejercitar nuestro cerebro con lápiz y papel mejora nuestra atención y concentración, ya que necesitamos que la mente esté al máximo rendimiento para hacer sumas, restas o multiplicaciones. El cálculo es, sin duda, una actividad muy practicada en educación, ¿pero cómo ayuda a ejercitar nuestro cerebro?

Bernardo Gómez, doctor en Matemáticas, explicaba en una entrevista que "el cálculo mental permitía adquirir comprensión y sentido sobre los números, ayudando también en la reflexión sobre decidir y elegir". Su aplicación docente es muy conocida, pero tal vez sabemos menos acerca de la influencia del cálculo mental sobre la plasticidad neuronal.

Desde hace tiempo la ciencia ha comprendido que "estimular de manera no invasiva" el cerebro puede ayudar a mejorar diversas funciones cognitivas, pues actuamos sobre la neuroplasticidad. En otras palabras, darle a nuestra mente su ración de "entrenamiento cerebral  diario ayuda a retrasar problemas cognitivos asociados al envejecimiento.

"ejercicios para practicar calculo menta"

“Como ven los niños de primaria los problemas de suma y resta”

"Como ven los niños de primaria los problemas de multiplicación”

“Como ven los niños de primaria los problemas de división”