UNIDAD III

“Las fracciones comunes y los números decimales: dificultades en su enseñanza y aprendizaje”

¿Qué es una fracción?

Una fracción es un número , que se obtiene de dividir un entero en partes iguales Por ejemplo cuando decimos una cuarta parte de la torta, estamos dividiendo  la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas.

Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.

La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.

El numerador es el número de partes que se considera de la unidad o total.

El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad o total.

“Historia de la fracción”

Se considera que fueron los egipcios quienes usaron por primera vez las fracciones, pero sólo aquellas de la forma 1/n o las que pueden obtenerse como combinación de ellas.

Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo. 

Por su parte los babilonios desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionaria, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevas operaciones que ayudaron a la comunidad matemática de siglos posteriores a hacer buenos cálculos de, por ejemplo, las raíces cuadradas.

Para los babilónicos era relativamente fácil conseguir aproximaciones muy precisas en sus cálculos utilizando su sistema de notación fraccionaria, la mejor de que dispuso civilización alguna hasta la época del Renacimiento.

Por último, en china antigua se destaca el hecho de que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador.
Los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que en este contexto hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones. . Algunas veces se adoptaron ciertas artimañas de carácter decimal para aligerar un poco la manipulación de las fracciones.

¿Qué es un numero decimal?

Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto. La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma.

“Ejemplo”

0,23

En este otro ejemplo, vemos que la parte decimal tiene solo dos cifras, pero la parte entera se reduce a cero, por lo tanto se deduce que la parte entera es nula y debe ser expresada de esa manera.

4 + 0,23 = 4,23

“historia de los decimales”

En el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10. 

Naturalmente, para sumar las fracciones anteriores basta con tomar
10.000 como denominador común y se obtiene 

Este tipo de fracción se llama fracción decimal.

Un ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por ejemplo, escribía

Al sumar estos números, obtenía 

Aunque su método no llegó a usarse mucho, su idea fue tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra manera de escribir las fracciones decimales.

Al principio, colocó una línea debajo de los dígitos del numerador, de esta manera:  

Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:

Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales.

Simón Stevin (1548 – 1620) 

En la historia de la Matemática , Stevin es conocido como uno de los primeros expositores de la teoría de las fracciones decimales. En la historia de la Física se le conoce por sus contribuciones a la Estática e Hidrostática. Entre los eruditos de su tiempo fue conocido por sus trabajos sobre fortificación e ingeniería militar. Sus contemporáneos le conocieron por la invención de un carruaje con velas que, cargado con veintiocho personas, se movía a una velocidad superior a la de un caballo al galope.

Números decimales

Durante los siglos XVI y XVII, los procedimientos operacionales con números reales se perfeccionaron y extendieron. En Bélgica encontramos a Stevin defendiendo en " La Disme " (Aritmética decimal, 1585) el uso de decimales, en vez de la notación sexagesimal, para escribir y operar con fracciones. Otros -Christoff Rudolff (1500-1545), Vieta, y el árabe al-Kashî (1436)- los habían usado previamente. Escribe 5912 como 5 0 9 1 1 2 2 3, o como 5, 9' 1'' 2'''. Escribía Stevin dentro de un círculo, encima o a continuación de cada dígito, la potencia de 10 que debería llevar como divisor. Así, por ejemplo el valor aproximado de aparecería escrito como 3 0 1 1 4 2 1 3 6 4 o 3 1 4 1 6 y en lugar de las palabras "décima", "centésima", etc., utilizaba Stevin "primo", "segundo", etc., de la misma manera que designamos nosotros aún hoy los diferentes lugares en las fracciones sexagesimales.

Décimas, centésimas, milésimas

En el opúsculo De Thiende (1585), escrito en lengua vernácula y dedicado a los astrónomos, agrimensores, tapiceros, vinateros, geómetras, banqueros y todo tipo de mercaderes, Stevin introdujo el uso sistemático de las fracciones decimales en las matemáticas europeas. Dicho tipo de fracciones ya se habían utilizado por los matemáticos chinos (s. XIII), por el rabino Immanuel Bonfils de Tarascón (ca. 1350), por el matemático alemán Christoff Rudolff (1530), y por el francés F. Viète en 1579. Además, en dicho folleto, Stevin planteó la unificación del sistema de pesas y medidas mediante un método basado en la división decimal de la unidad.

Stevin tenía evidentemente una idea correcta de las fracciones decimales, pero su notación para los diferentes lugares, inspirada por la de Bombelli, era más adecuada para el álgebra que para la aritmética. Pero por fortuna la notación moderna no iba a tardar ya en llegar. En la traducción al inglés de la Descriptio de Napier, en 1616, las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. En su Rhabdologia de 1617, en la que describe la manera de calcular utilizando sus varillas, se refiere Napiere a la aritmética decimal de Stevin y propone un punto o una coma como signo de separación decimal. En la Constructio de Napier de 1619 se consagró el uso del punto decimal en Inglaterra, pero en muchos otros países europeos se continúa utilizando hoy la coma decimal. Vieta perfeccionó y extendió los métodos de efectuar raíces cuadradas y cúbicas. En aritmética Vieta formuló una decidida defensa del uso de las fracciones decimales en vez de las sexagesimales. Así, escribía en una de sus primeras obras, el Canon-mathematicus de 1579:

"Los sexagesimales y los sesentas han de ser usados raramente o nunca en la matemática, mientras que los milésimos y los miles, los centésimos y los cientos, los décimos y los dieces, y las progresiones semejantes, ascendentes y descendentes, deben usarse frecuentemente y aún exclusivamente."

El uso del punto para separar la parte entera de la parte decimal de un número se atribuye o bien a G. A. Magini (1555-1617), en su "De planis triangulis" de 1592, o bien a Christoph Clavius (1537-1612), en una tabla de senos de 1593. Sin embargo, el punto decimal no se popularizó hasta que lo usó Napier más de 20 años después.

El uso de fracciones continuas en aritmética es otro acontecimiento de la época. Podemos rebatir que los hindús -Äryabhata en particular- hubieran usado fracciones continuas para resolver ecuaciones lineales indeterminadas. Bombelli, en su "Algebra" (1572), fue el primero que las usó aproximando raíces cuadradas.

En el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10.

Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:

Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales. Sabiendo que el origen de la escritura de los números decimales está vinculado a la necesidad de facilitar los cálculos con fracciones decimales, es bueno notar que luego se encontró la forma de expresar cualquier fracción como un número decimal.

La mayor facilidad para los cálculos radica en que sólo se efectúan las operaciones con números enteros y no ya con fracciones, pues al escribir, por ejemplo,en la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03) y en realidad esta operación requiere sólo que se multipliquen los números enteros 25x3=75 y luego se le coloca la coma de manera que se obtengan 3 espacios ocupados a la derecha de la coma, y se escribe entonces 

Es importante saber que, en los tiempos en que esta idea surgió, no existían, por supuesto, calculadoras que ayudaran a los científicos en la realización de cálculos complicados. En ciertas áreas, como en la astronomía, por ejemplo, los cálculos complicados requerían de mucha precisión.

Los números decimales se usaron finalmente, no sólo para representar fracciones decimales, sino cualquier fracción en general.

“dificultades en su enseñanza y aprendizaje”

¿Cuál es la problemática?

 No existe una noción de reparto Se percibe que el alumno está influido por el uso que se les da a las fracciones en la vida diaria, es por eso que en el ámbito escolar la palabra fracción forma parte de un lenguaje relativamente familiar. No comprenden la función del numerador y el denominador.

Las fracciones deben ser acercadas al alumno mediante un lenguaje que él entienda. Así surge la idea de que, considerando los conocimientos que de las fracciones se tengan, el inicio para un adecuado aprendizaje se puede hacer partiendo de los términos más usuales

Los significados de las fracciones en los distintos contextos de uso ü La fracción como expresión que vincula la parte con el todo. ¿Qué parte es? ü La fracción como reparto equitativo. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? ü La fracción como razón. ¿En qué relación están? ü La fracción como división indicada ü La fracción como un punto de la recta numérica ü La fracción como operador

 Los significados de las operaciones con fracciones En la suma y la resta Se han de buscar situaciones que tengan fracciones con igual y distinto denominador, y que combinen fracciones, números naturales y números mixtos. En la multiplicación Se darán situaciones problemáticas de multiplicación de números naturales por fracciones y fracciones entre sí atendiendo a los distintos significados.

En la división Se darán situaciones que atiendan a dividir fracciones por naturales, naturales por fracciones y fracciones entre sí : a) n a b b) a b n a) 5 3 8 b) 3 8 5 c) a b c d c) 3 8 5 9

 Dificultades de los alumnos en la adquisición de las fracciones Ø No tienen en cuenta que las partes de la unidad sean equivalentes en área y se centran tan sólo en el número de partes. Ø Desconociendo que lo que interesa en la gráfica en figuras es la equivalencia de áreas.

Trasladan las propiedades del conjunto de los números naturales al campo numérico de los números racionales, sin tener en cuenta que las fracciones forman un conjunto de números con propiedades específicas, distintas de las propiedades de los números naturales. 1 3 < 1 5 1 5 es la mitad de 1 10 Ø Suman o restan los numeradores entre sí y los denominadores entre sí porque generalizan las propiedades de la adición de números naturales en el campo de los números racionales.

 Algunas Recomendaciones Estas son algunas recomendaciones generales que se hacen para la enseñanza del tema fracciones: ü Presentar situaciones variadas que impliquen los distintos usos de las fracciones en base a distintos contextos. No centrarse en la enseñanza de la relación parte-todo. ü Dejar que los alumnos se expresen en forma oral y escrita con el lenguaje coloquial e incentivar el dibujo como apoyo para la comprensión de los conceptos implicados en las situaciones dadas. No apresurar el uso de la simbolización al comienzo del ciclo. ü Comenzar a trabajar fracciones con las fracciones más usuales y sus equivalencias. No empezar por las más complicadas. ü No imponer los algoritmos de las operaciones, sino que hay que cargar de sentido las mismas a través de problemas variados.

 En este sentido de trabajo en el aula es necesario que los docentes alienten: ü la participación de todos los alumnos en la solución de las situaciones dadas. ü la experimentación, discusión y comprobación de resultados con diferentes recursos y procedimientos. ü la explicación y justificación de lo realizado, compartiendo sus estrategias con toda la clase. ü el respeto y escucha de los aportes de los compañeros. ü las preguntas de los alumnos acerca de lo no comprendido.

“Como ven los niños de primaria los problemas de fracciones”

“Como ven los niños de primaria los problemas de decimales”